Nekatere neskončnosti so večje od drugih

Z neskončnostjo se najprej srečamo, ko nam v šoli povejo, da je števil neskončno. Čeprav danes neskončnost najprej povežemo z matematiko, sega njena ideja že v staro Grčijo, kjer je bila obravnavana kot filozofski koncept. Navsezadnje je neskončnost abstrakten pojem, ki opisuje nekaj, kar se ne konča. Šele ob koncu 19. stoletja je nemški matematik Georg Cantor razvil nekatere ključne ideje in lastnosti o neskončnosti, ki jih uporabljamo še danes. Eno izmed bolj zanimivih odkritij je bila ugotovitev, da so nekatere neskončnosti večje od drugih. V današnjem znanstvenem komentarju bomo poskusili pokazati, zakaj je to res.

Trditev, da so nekatere neskončnosti večje od drugih, se morda zdi nesmiselna. Navsezadnje, kako je lahko nekaj, kar se nikoli ne konča, manjše od česarkoli? Cantorjeve ideje o neskončnosti na začetku niso bile dobro sprejete. Veliko matematikov je takrat koncept neskončnosti v celoti zavračalo, češ da zanjo ni prostora med resno matematiko. A kot nas zgodovina uči, se ljudje novih in presenetljivih idej bojijo ter jih zavračajo. Preden bomo lahko neskončnosti sploh primerjali, je najprej treba razčistiti, da neskončnost ni število.

Če bi neskončnost vzeli kot število, bi prišli do veliko protislovnih sklepov. Predstavljajmo si ravno cesto, ki je neskončno dolga. Zagotovo lahko rečemo, da je cesta dolga neskončno metrov, prav tako pa lahko trdimo, da je dolga neskončno kilometrov. Ampak vsak meter je tisočkrat manjši od enega kilometra. Ali to pomeni da ima neskončna cesta dve različni dolžini? Vsi bi se strinjali, da je zastavljeno vprašanje nesmiselno. Izvor nesmisla pa izhaja iz dejstva, da smo neskončnost obravnavali kot število.

Zgornji primer nam je pokazal, da če ne obravnavamo neskončnosti pravilno, dobimo protislovna dejstva. Da bi razložili, kako matematiki uporabljajo neskončnost in zakaj so nekatere večje od drugih, se moramo najprej seznaniti z nekaterimi osnovnimi matematičnimi koncepti, kot so množice.  Množico si intuitivno predstavljamo kot skupek reči, ki imajo ponavadi kakšno skupno lastnost. Kot primer lahko vzamemo množico študentov biologije ali pa množico poslušalcev Radia Študent. Ena izmed lastnosti, ki nas pri množicah zanima, je njena velikost, ali kot bi rekli matematiki, njena moč. Velikost množice je definirana s številom njenih elementov. Pravimo, da sta dve množici enako veliki, če vsebujeta enako število elementov. Velikost množice lahko ugotovimo tako, da preštejemo, koliko elementov ima, saj tako lahko potem ugotovimo, katere množice so večje od drugih.

Zdaj, ko smo definirali velikost množice, smo prišli do relacij, kot so večje in manjše množice, kar že diši po naslovu, da so nekatere neskončnosti večje od drugih. Če bi torej primerjali velikost dveh neskončnih množic, bi morda res ugotovili, da so ene večje od drugih. Ampak hitro ugotovimo, da je metoda preštevanja elementov učinkovita le, če imamo opravka s končnimi množicami. V matematiki se velikokrat zgodi, da določen pristop deluje samo za nekatere primere, v drugih pa odpove. Takrat je smiselno stvar pogledati z drugega zornega kota. Na kakšen način bi še lahko primerjali velikosti množic, da bo dober tako za končne kot neskončne množice? Spomnimo se, da neskončnost ni število, ampak koncept, s katerim opisujemo velikost nečesa, kar se ne konča. Do odgovora  nas bo vodil sledeči primer.

Zamislimo si, da imamo dva različna srednješolska razreda A in B, ki se pripravljata na maturantski ples. In recimo, da jim je bilo ukazano, da si morajo soplesalca oziroma soplesalko najti iz drugega razreda, tako da so si po letih najbližje. Če nihče iz razreda A ali B ne ostane brez soplesalke oziroma soplesalca, lahko sklepamo, da imata razreda enako število učencev in učenk. Če pa bi na primer v razredu A ostal en učenec brez soplesalca, bi pomenilo, da ima razred A več učencev. Vidimo, da smo med dvema razredoma definirali neko pravilo, ki je učencu iz razreda A dodelil natanko določenega soplesalca iz razreda B. Temu pravilu v matematiki pravimo funkcija

V primeru, ko noben učenec ni ostal brez svojega partnerja, je bila funkcija bijektivna. Bijektivna funkcija ima to lastnost, da je vsakemu učencu iz razreda B priredila natanko enega določenega partnerja iz razreda A. To nam porodi idejo, da lahko velikost dveh množic primerjamo z bijektivnimi funkcijami, saj bosta množici enako veliki, če taka funkcija  za njiju obstaja. Ta metoda je boljša od preštevanja, saj lahko funkcijo definiramo tudi na neskončnih množicah. Analogno – kot pri končnih množicah – lahko sklepamo tudi za neskončne: če med dvema neskončnima množicama obstaja bijektivna preslikava, pomeni, da smo vsakemu elementu ene množice enolično priredili natanko en element iz druge množice.

Zdaj potrebujemo samo še primer neskončnih množic. Najhitrejši primer najdemo v številih, s katerimi štejemo, za katere vemo, da jih je neskončno mnogo. Če vsa ta števila damo v množico, dobimo tako imenovano množico naravnih števil. Z množico naravnih števil smo se v osnovni šoli seznanili najprej, kmalu pa smo ugotovili, da je v mnogih pogledih nepopolna. Stvari lahko navsezadnje tudi dolgujemo, ne le posedujemo. Zato smo množici naravnih števil dodali vsa negativna števila in število nič. Tej množici pravimo množica celih števil, ki je prav tako neskončna. Na prvi pogled se nam intuitivno zdi jasno, da je množica celih števil veliko večja, kot pa množica naravnih števil. A kot smo že na začetku ugotovili, nas, ko imamo opravka z neskončnostjo, lahko naša intuicija zavede.

Izkaže se, da lahko najdemo bijektivno preslikavo med naravnimi in celimi števili. To pomeni, da lahko najdemo za vsako celo število enolično določeno naravno število. Z drugimi besedami - naravnih števil je prav toliko, kot je celih.

Še bolj presenetljivo pa je dejstvo, da obstaja bijektivna preslikava med naravnimi in racionalnimi števili. Množico celih števil razširimo do množice racionalnih števil, s katerimi lahko izrazimo cele dele. To so torej takšna števila, ki jih lahko zapišemo v obliki ulomka.  Torej lahko tudi vsakemu racionalnemu številu enolično določimo naravno število. Zaradi vsega prej povedanega lahko rečemo, da je naravnih števil toliko, kot je celih in racionalnih, zato so te množice enako velike. Vidimo, da lahko neskončnost porodi kar nekaj neintuitivnih dejstev. Na podlagi povedanega bi lahko prehitro sklepali, da med neskončnimi množicami vedno najdemo bijektivno preslikavo in so zato vse enako velike.

Sklep bi zavrgli takoj, ko bi poskušali najti bijektivno preslikavo med realnimi in naravnimi števili. Racionalna števila razširimo do realnih števil iz podobnih razlogov, kot smo razširjali prejšnje številske množice - v nekem smislu so racionalna števila še vedno nepopolna. Med racionalnimi števili ne moremo najti takega števila, katerega kvadrat bi bil enak številu dve, kar nakazuje, da nam nekatera števila manjkajo. Če bi vsakemu racionalnemu številu priredili točko na neskončni premici, bi videli, da je velik del točk na premici ostal brez svojega racionalnega števila. To pa pomeni, da je racionalnih števil premalo, da bi zapolnile celotno premico.

Tu vstopijo realna števila, ki dokončno zapolnijo celotno premico. Georg Cantor je dokazal, da bijektivne funkcije med naravnimi in realnimi števili ni. Ne glede na to, kako bi definirali funkcijo, bi večji del realnih števil ostal brez para. Čeprav je naravnih števil neskončno, jih je še vedno premalo, da bi jih enolično poparili z realnimi števili. Obe množici sta neskončni, a realnih števil je še vedno več, zato pravimo, da je neskončnost realnih števil večja kot neskončnost naravnih, celih ali racionalnih števil.

Za vsako matematično trditvijo stoji matematični dokaz, ki potrdi njeno resničnost. Trditve, ki smo jih navedli v oddaji, niso izjema. Namen komentarja je bil predstaviti na čim bolj preprost način, zakaj je mogoče smiselno govoriti o različnih velikostih neskončnosti. Kot zanimivost lahko povemo še, da obstajajo neskončne množice, ki so večje tudi od neskončnosti množice realnih števil. A o tem kdaj drugič.

Do konca je skoraj preštel Jon.